中考备考

(相关资料图)

试题内容

在等腰直角三角形ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,点M为射线CA上一个动点,过点M作ME⊥BM,交射线BA于E,将线段BM绕点B逆时针旋转90°得到线段BN,过点N作NF⊥BN交BC延长线于点F,连接EF.

(1)如左图,当点M在边AC上时,线段EM, EF, NF的数量关系为 ；

(2)如右图,当点M在线段CA的延长线上时,判断线段EM, EF, NF的数量关系并说明理由；

(3)当点M在射线CA上运动时,能否存在△BEF为等腰三角形,若不存在,请说明理由；若存在,请直接写出CM的长.

第一问

【截长法】

在线段NF上截取NG=ME，

易证：△BME≅△BNG，

∴BE=BG，∠1=∠2，

∴∠EBG=∠1+∠3=∠2+∠3=90°，

∵∠EBF=45°，

∴∠GBF=45°，

易证△EBF≅△GBF，

∴EF=GF，

∴EM+EF=NG+GF=NF，

即：EM+EF=NF.

【旋转法】

将△BME逆时针旋转90°至△BNG，

易证：点N、G、F三点共线，

由旋转的性质得：

△BME≅△BNG，

∴NG=ME，BE=BG，

∠EBG=90°，

∵∠EBF=45°，

∴∠GBF=45°，

易证△EBF≅△GBF，

∴EF=GF，

∴EM+EF=NG+GF=NF，

即：EM+EF=NF.

第二问

【补短法】

延长线段FN至点G，使NG=ME，

易证：△BME≅△BNG，

∴BE=BG，∠1=∠2，

∴∠EBG=∠2+∠3=∠1+∠3=90°，

∵∠EBF=45°，

∴∠GBF=45°，

易证△EBF≅△GBF，

∴EF=GF，

∴EM+NF=NG+NF=GF=EF，

即：EM+NF=EF.

【旋转法】

将△BME逆时针旋转90°至△BNG，

易证：点N、G、F三点共线，

由旋转的性质得：

△BME≅△BNG，

∴NG=ME，BE=BG，

∠EBG=90°，

∵∠EBF=45°，

∴∠GBF=45°，

易证△EBF≅△GBF，

∴EF=GF，

∴EM+NF=NG+NF=GF=EF，

即：EM+NF=EF.

难点

“截长补短法”和“旋转法”都可以解决问题，但是需要注意的是：

1.截长补短后需要证明三角形全等；2.旋转后需要证明三点共线.

第三问

①当EB=EF时，

∠EFB=∠EBF=45°，

∴∠BEF=∠BGF=90°，

∴点G、N重合，

∴ME=GN=0，

∴点M、E重合，

∴点M在射线BA上，

∵点M在射线CA上，

∴点M、A重合，

∴CM=CA=2；

②当BE=BF时，

BG=BF，

在等腰三角形GBF中，

∵BN⊥FG，

∴BN平分∠GBF，

∵∠GBF=45°，

∴∠1=∠2=22.5°，

易证：∠BMC=22.5°，

∴AM=AB=(√2)AC=(2√2)，

∴CM=AM+AC=(2√2)+2；

③当FB=FE时，

∠4=∠5，

由题意得：

∠5=∠6=∠7，

∴∠4=∠7，

∴ME∥BF，

∴∠FBM=180°-∠EMB=90°，

显然与题设矛盾.

综上所述：CM的长为2或(2√2)+2.